- Liouville-Gleichung
- Liouville-Gleichung[lju'vil-; nach J. Liouville], partielle Differenzialgleichung der statistischen Mechanik für die Verteilungsfunktion f(N) (r1,. .., rN; pN; t) einer statistischen Gesamtheit von gleichartigen klassischen Vielteilchensystemen (N Teilchen mit den Ortsvektoren r1,. .., rN und den Impulsen p1,. .., pN; Zeit t) im 6N-dimensionalen Phasenraum (Gammaraum):wobei {fN, H} die mit der Hamilton-Funktion H dieser Systeme gebildete Poisson-Klammer ist. Die Liouville-Gleichung beschreibt die zeitliche Änderung der Verteilungsfunktion (Strömung einer Phasenraumflüssigkeit) aufgrund der Wechselwirkungen zwischen den Teilchen (und äußeren Kräften). Bei Berücksichtigung der Hamilton-Gleichungen stellt sie die Kontinuitätsgleichung im Phasenraum dar, wonach keine Zustandspunkte der N-Teilchensysteme im Phasenraum entstehen oder vergehen können. Wird die Bewegung der Zustandspunkte als Strömung einer »Flüssigkeit« veranschaulicht, so besagt die Liouville-Gleichung die Inkompressibilität der Phasenraumflüssigkeit (liouvillesches Theorem). Eine andere Formulierung besagt, dass gleich große, beliebig geformte Zellen des Phasenraums dieselbe Aufenthaltswahrscheinlichkeit für einen Zustandspunkt besitzen. - Aus der Liouville-Gleichung lassen sich die Boltzmann-Gleichung, die Wlassow-Gleichung u. a. Transportgleichungen sowie die Planck-Fokker-Gleichung ableiten. In der Quantenstatistik tritt die Von-Neumann-Gleichung für den statistischen Operator an die Stelle der Liouville-Gleichung.
Universal-Lexikon. 2012.
